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专题01数与式问题
【考试知识点1】实数与数轴问题
【例1】（2019年大庆）实数m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（）
A．m＞n B．﹣n＞|m| C．﹣m＞|n| D．|m|＜|n|
【剖析】从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项剖析得出结论即可．
【分析】由于m、n都是负数，且m＜n，|m|＜|n|，
A、m＞n是不对的；
B、﹣n＞|m|是不对的；
C、﹣m＞|n|是正确的；
D、|m|＜|n|是不对的．
故选：C．
【变式1-1】（2019年徐州）如图，数轴上有O、A、B三点，O为原点，OA、OB分别表示仙女座星系、M87黑洞与地球的距离（单位：光年）．下列选项中，与点B表示的数最为接近的是（）
A．5×106 B．107 C．5×107 D．108
【剖析】先化简2.5×106＝0.25×107，再从选项中剖析即可；
【分析】2.5×106＝0.25×107，
（5×107）÷（0.25×107）＝20，
从数轴看比较接近；
故选：C．
【变式1-2】（2019年枣庄）点O，A，B，C在数轴上的地方如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）
A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1
【剖析】依据题意和数轴可以用含a的式子表示出点B表示的数，本题得以解决．
【分析】∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a，
∴点A表示的数为a﹣1，
∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），
故选：B．
【点拨】本题考查数轴，解答本题的重点是明确题意，借助数形结合的思想解答．
【考试知识点2】整式的求值问题
【例2】（2019年泰州）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为（）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【剖析】将代数式4a2﹣6ab+3b变形后，整体代入可得结论．
【分析】4a2﹣6ab+3b，
＝2a（2a﹣3b）+3b，
＝﹣2a+3b，
＝﹣（2a﹣3b），
＝1，
故选：B．
【点拨】本题考查代数式求值；熟练学会整体代入法求代数式的值是解题的重点．
【变式2-1】（2019年常州）假如a﹣b﹣2＝0，那样代数式1+2a﹣2b的值是__________．
【剖析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b＝2整体代入即可求值；
【分析】∵a﹣b﹣2＝0，
∴a﹣b＝2，
∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝1+4＝5；
故答案为5．
【变式2-2】（2019•济宁）已知x﹣2y＝3，那样代数式3﹣2x+4y的值是（）
A．﹣3 B．0 C．6 D．9
【剖析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．
【分析】∵x﹣2y＝3，
∴3﹣2x+4y＝3﹣2（x﹣2y）＝3﹣2×3＝﹣3；
故选：A．
【考试知识点3】分式的求值问题
【例3】（2019年内江）若
2，则分式
的值为__________．
【剖析】由
2，可得m+n＝2mn；化简
，即可求解；’
【分析】2，可得m+n＝2mn，
＝﹣4；
故答案为﹣4；
【点拨】本题考分数查询式的值；可以通过已知条件得到m+n＝2mn，整体代入的思想是解题的重点；
【变式3-1】（2019年绥化）当a＝2018时，代数式（
）
的值是__________．
【剖析】依据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【分析】（
）
＝a+1，
当a＝2018时，原式＝2018+1＝2019，
故答案为：2019．
【变式3-2】（2019年北京）假如m+n＝1，那样代数式（
）•（m2﹣n2）的值为（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【剖析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【分析】原式
•（m+n）（m﹣n）
•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），
当m+n＝1时，原式＝3．
故选：D．
【考试知识点4】二次根式的性质与化简
【例4】（2019年绵阳）已知x是整数，当|x
|取最小值时，x的值是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【剖析】依据绝对值的意义，由与
最接近的整数是5，可得结论．
【分析】∵
，
∴5
，
且与最接近的整数是5，
∴当|x
|取最小值时，x的值是5，
故选：A．
【点拨】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练学会平方数是重点．
【变式4-1】（2019年菏泽）已知x
，那样x2﹣2
x的值是__________．
【剖析】依据二次根式的运算与完全平方公式即可求出答案．
【分析】∵x
，
∴x2﹣2x+2＝6，
∴x2﹣2x＝4，
故答案为：4
【变式4-2】（2019年内江）若|1001﹣a|
a，则a﹣10012＝__________．
【剖析】由二次根式有意义的条件得到a≥1002，据此去绝对值并求得a的值，代入求值即可．
【分析】∵a﹣1002≥0，
∴a≥1002．
由|1001﹣a|
a，得﹣1001+aa，
∴
1001，
∴a﹣1002＝10012．
∴a﹣10012＝1002．
故答案是：1002．
【考试知识点5】数字的变化规律
【例5】（2019年河池）a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是__________．
【剖析】由任意三个相邻数之和都是15，可知a1、a4、a7、…a3n+1相等，a2、a5、a8、…a3n+2相等，a3、a6、a9、…a3n相等，可以得出a5＝a2＝5，依据a1+a2+a3＝15得4+5+a3＝15，求得a3，进而按循环规律求得结果．
【分析】由任意三个相邻数之和都是15可知：
a1+a2+a3＝15，
a2+a3+a4＝15，
a3+a4+a5＝15，
…
an+an+1+an+2＝15，
可以推出：a1＝a4＝a7＝…＝a3n+1，
a2＝a5＝a8＝…＝a3n+2，
a3＝a6＝a9＝…＝a3n，
所以a5＝a2＝5，
则4+5+a3＝15，
解得a3＝6，
∵2019÷3＝673，
因此a2019＝a3＝6．
故答案为：6．
【变式5-1】（2019年益阳）察看下列等式：
①3﹣2
（
1）2，
②5﹣2
（
）2，
③7﹣2
（
）2，
…
请你依据以上规律，写出第6个等式______________________________．
【剖析】第n个等式左侧的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），借助完全平方公式得到第n个等式右侧的式子为（
）2（n≥1的整数）．
【分析】写出第6个等式为13﹣2（）2．
故答案为13﹣2（）2．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特征，灵活运用二次根式的性质，选择适合的解题渠道，总是能事半功倍．
【变式5-2】（2019年铜仁市）按肯定规律排列的一列数依次为：
，
，
，
，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是______________________________．（n为正整数）
【剖析】先确定正负号与序号数的关系，再确定分母与序号数的关系，然后确定a的指数与序号数的关系．
【分析】第1个数为（﹣1）1•
，
第2个数为（﹣1）2•
，
第3个数为（﹣1）3•
，
第4个数为（﹣1）4•
，
…，
所以这列数中的第n个数是（﹣1）n•．
故答案为（﹣1）n•．
【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类：寻数列规律：认真察看、仔细考虑，善用联想是解决这种问题的办法．
【考试知识点6】图形的变化规律
【例6】（2019年大庆）总结“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，根据图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为______________________________．
【剖析】依据题意和图形，可以发现图形中棋子的变化规律，从而可以求得第n个“T”字形需要的棋子个数．
【分析】由图可得，
图①中棋子的个数为：3+2＝5，
图②中棋子的个数为：5+3＝8，
图③中棋子的个数为：7+4＝11，
……
则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）＝3n+2，
故答案为：3n+2．
【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的重点是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，借助数形结合的思想解答．
【变式6-1】（2019年天水）察看下列图中所示的一系列图形，它们是按肯定规律排列的，根据此规律，第2019个图形中共有__________个〇．
【剖析】依据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．
【分析】由图可得，
第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，
第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，
第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，
第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，
……
∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇，
故答案为：6058．
【点拨】本题考查图形的变化类，解答本题的重点是明确题意，发现图形中〇的变化规律，借助数形结合的思想解答．
【变式6-2】（2019年甘肃）如图，每一图中有若干个大小不一样的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，假如第n幅图中有2019个菱形，则n＝__________．
【剖析】依据题意剖析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有2×2﹣1＝3个，第3幅图中有2×3﹣1＝5个，…，可以发现，每一个图形都比前一个图形多2个，继而即可得出答案．
【分析】依据题意剖析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×2﹣1＝3个．
第3幅图中有2×3﹣1＝5个．
第4幅图中有2×4﹣1＝7个．
…．
可以发现，每一个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有（2n﹣1）个．
当图中有2019个菱形时，
2n﹣1＝2019，
n＝1010，
故答案为：1010．
【点拨】本题考查规律型中的图形变化问题，困难程度适中，需要学生通过察看，剖析、总结并发现其中的规律．
1．（2019年北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【剖析】依据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．
【分析】∵点C在原点的左边，且CO＝BO，
∴点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
2.（2019年黄石）下列四个数：﹣3，﹣0.5，，
中，绝对值最大的数是（）
A．﹣3 B．﹣0.5 C． D．
【剖析】依据绝对值的性质与正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于所有负实数，两个负实数绝对值大的反而小判断即可．
【分析】∵|﹣3|＝3，|﹣0.5|＝0.5，|
|
，||
且0.53，
∴所给的几个数中，绝对值最大的数是﹣3．
故选：A．
3．（2019年云南）按肯定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）
A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1 B．（﹣1）nx2n﹣1
C．（﹣1）n﹣1x2n+1 D．（﹣1）nx2n+1
【剖析】察看指数规律与符号规律，进行解答便可．
【分析】∵x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，
﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，
x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，
﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，
x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，
……
由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，
故选：C．
4．（2019年黔东南州）假如3ab2m﹣1与9abm+1是相同种类项，那样m等于（）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
【剖析】依据相同种类项的概念，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，列出等式，直接计算即可．
【分析】依据题意，得：2m﹣1＝m+1，
解得：m＝2．
故选：A．
5．（2019年常德）察看下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，依据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（）
A．0 B．1 C．7 D．8
【剖析】第一得出尾数变化规律，进而得出70+71+72+…+72019的结果的个位数字．
【分析】∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
故选：A．
6．（2019年深圳）概念一种新运算n•xn﹣1dx＝an﹣bn，比如2xdx＝k2﹣n2，若x﹣2dx＝﹣2，则m＝（）
A．﹣2 B． C．2 D．
【剖析】依据新运算列等式为m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，解出即可．
【分析】由题意得：m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，
2，
5﹣1＝﹣10m，
m，
故选：B．
7．（2019年攀枝花）一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为（）千米/时．
A．（a+b） B．
C． D．
【剖析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为x，表示出上山下山的总时间，把有关数值代入化简即可．
【解答】设上山的路程为x千米，
则上山的时间
小时，下山的时间为小时，
则上、下山的平均速度千米/时．
故选：D．
8．（2019年临沂）计算
a﹣1的正确结果是（）
A． B．
C． D．
【剖析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，根据同分母分式加减的法则计算就能了．
【分析】原式，
，
．
9．（2019年舟山）数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为__________________________________________________________________________________________（用“＜”号连接）．
【剖析】依据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0，即可得出答案．
【分析】∵a＞0，b＜0，a+b＜0，
∴|b|＞a，
∴﹣b＞a，b＜﹣a，
∴四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b．
故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b
10．（2019年咸宁）有一列数，按肯定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是__________．
【剖析】依据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再依据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
【分析】∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，
则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，
即（﹣2）3n＝（22）12，
∴（﹣2）3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，
故答案为：﹣384．
11．（2019年湘潭）若a+b＝5，a﹣b＝3，则a2﹣b2＝__________．
【剖析】先依据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【分析】∵a+b＝5，a﹣b＝3，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝5×3
＝15，
故答案为：15．
12．（2019年徐州）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为__________．
【剖析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．
【分析】∵a＝b+2，
∴a﹣b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．
故答案为：4
13．（2019年桂林）若x2+ax+4＝（x﹣2）2，则a＝__________．
【剖析】直接借助完全平方公式得出a的值．
【分析】∵x2+ax+4＝（x﹣2）2，
∴a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题重点．
14．（2019年咸宁）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是__________（写一个即可）．
【剖析】令m＝﹣1，使其能借助平方差公式分解即可．
【分析】令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
15．（2019年广州）代数式有意义时，x应满足的条件是______________________________．
【剖析】直接借助分式、二次根式的概念求出x的取值范围．
【分析】代数式
有意义时，
x﹣8＞0，
解得：x＞8．
故答案为：x＞8．
16．（2019年枣庄）察看下列各式：
11+（1
），
1
1+（
），
11+（），
…
请借助你发现的规律，计算：
，
其结果为____________________．
【剖析】依据题意找出规律，依据二次根式的性质计算即可．
【分析】
＝1+（1
）+1+（）+…+1+（
）
＝2018+1
＝2018，
故答案为：2018．
17.（2019年西藏）察看下列式子
第1个式子：2×4+1＝9＝32
第2个式子：6×8+1＝49＝72
第3个式子：14×16+1＝225＝152
……
请写出第n个式子：________________________________________________________________________________________________________________________．
【剖析】由题意可知：①等号左侧是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大2）与1的和；右侧是比左侧第一个因数大1的数的平方；②第1个式子的第一个因数是22﹣2，第2个式子的第一个因数是23﹣2，第3个式子的第一个因数是24﹣2，以此类推，得出第n个式子的第一个因数是2n+1﹣2，从而能写出第n个式子．
【分析】∵第1个式子：2×4+1＝9＝32，即（22﹣2）×22+1＝（22﹣1）2，
第2个式子：6×8+1＝49＝72，即（23﹣2）×23+1＝（23﹣1）2，
第3个式子：14×16+1＝225＝152，即（24﹣2）×24+1＝（24﹣1）2，
……
∴第n个等式为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．
故答案为：（2n+1﹣2）×2n+1+1＝（2n+1﹣1）2．
18．（2019年海南）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．假如第一个数是0，第二个数是1，那样前6个数的和是__________，这2019个数的和是__________．
【剖析】依据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．
【分析】由题意可得，
这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，
∴前6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0，
∵2019÷6＝336…3，
∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2，
故答案为：0，2．
19.（2019年安顺）如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，比如坐落于第3行、第4列的数是12，则坐落于第45行、第7列的数是__________．
【剖析】察看图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019
【分析】察看图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019，
故答案为2019
