2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
需要注意的地方：
1．答题前，考生务势必我们的名字、考生号等填写在答卷卡和试题指定地方上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答卷卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卷卡上。写在本试题上无效。
3．考试结束后，将本试题和答卷卡一并交回。
1、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目需要的。
1．设
，则
=
A．2 B．
C．
D．1
2．已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
A．
B．
C．
D．
4．古希腊时期，大家觉得最好看的人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比率)，著名的“断臂维纳斯”便是这样．除此之外，最好看的人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比率，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm
5．函数f=
在[—π，π]的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．某学校为知道1 000名新生的身体素质，将这类学生编号为1，2，…，1 000，从这类新生中用系统抽样办法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
7．tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
8．已知非零向量a，b满足
=2
，且（a–b）b，则a与b的夹角为
A．
B． C．
D．
9．如图是求
的程序框图，图中空白框中应填入
A．A=
B．A= C．A=
D．A=
10．双曲线C：
的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cosplay40° C．
D．
11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosplayA=－
，则
=
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知椭圆C的焦点为
，过F2的直线与C交于A，B两点.若
，
，则C的方程为
A． B．
C．
D．
2、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线
在点处的切线方程为___________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
15．函数的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那样P到平面ABC的距离为___________．
3、解答卷：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考试试题，每一个考试试题考生都需要作答。第22、23题为选考试试题，考生依据需要作答。
（一）必考试试题：60分。
17．（12分）
某商场为提升服务水平，随机调查了50名男客户和50名女客户，每位客户对该商场的服务给出认可或不认可的评价，得到下面列联表：
| 认可 | 不认可 |
男客户 | 40 | 10 |
女客户 | 30 | 20 |
（1）分别估计男、女客户对该商场服务认可的概率；
（2）能否有95%的把握觉得男、女客户对该商场服务的评价有差异？
附：．
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx－xcosplayx－x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是不是存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．
（二）选考试试题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴打造极坐标系，直线l的极坐标方程为
．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）
；
（2）
．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
1、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C
7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B
2、填空题
13．y=3x 14．
15．−4 16．
3、解答卷
17．解：
（1）由调查数据，男客户中对该商场服务认可的比率为
，因此男客户对该商场服务认可的概率的估计值为0.8．
女客户中对该商场服务认可的比率为
，因此女客户对该商场服务认可的概率的估计值为0.6．
（2）．
因为
，故有95%的把握觉得男、女客户对该商场服务的评价有差异.
18．解：
（1）设的公差为d．
由得
．
由a3=4得
．
于是．
因此的通项公式为
．
（2）由（1）得，故.
由
知，故
等价于
，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是
．
19．解：
（1）连结
.由于M，E分别为的中点，所以
，且.又由于N为
的中点，所以
.
由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，
.又平面，所以MN∥平面.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得，
，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故
.
从而点C到平面的距离为.
20．解：
（1）设，则.
当时，；当时，，所以在
单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以
在存在唯一零点.
（2）由题设知，可得a≤0.
由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，
；当时，
，所以在单调递增，在
单调递减.
又，所以，当时，.
又当时，ax≤0，故
.
因此，a的取值范围是.
21．解：（1）由于过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.
由于与直线x+2=0相切，所以的半径为.
由已知得，又，故可得，解得或.
故的半径或.
（2）存在定点
，使得
为定值.
理由如下：
设，由已知得的半径为
.
因为，故可得
，化简得M的轨迹方程为.
由于曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以.
由于，所以存在满足条件的定点P.
22．解：（1）由于，且
，所以C的直角坐标方程为.
的直角坐标方程为.
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.
C上的点到的距离为.
当时，获得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.
23．解：（1）由于，又，故有
.
所以.
（2）由于为正数且，故有
=24.
所以.
